13奈良県立医科大学 2016年 数学 第13問解答・解説

$1\le x\le2$ では $\log x$ が定義される。 $$\displaystyle I_k=\int_1^2(\log x)^k\,dx\quad(k=1,2,3)$$ とおき、部分積分を用いる。 $$I_3=\left[x(\log x)^3\right]_1^2-3I_2=2(\log 2)^3-3I_2.$$ 同様に $$\displaystyle I_2=\left[x(\log x)^2\right]_1^2-2I_1=2(\log 2)^2-2I_1,\qquad I_1=\left[x\log x\right]_1^2-\int_1^2 1\,dx=2\log 2-1.$$ したがって $I_2=2(\log 2)^2-4\log 2+2$ であり、 $$I_3=2(\log 2)^3-3\{2(\log 2)^2-4\log 2+2\}=2(\log 2)^3-6(\log 2)^2+12\log 2-6.$$ 確認として、$F(x)=x\{(\log x)^3-3(\log x)^2+6\log x-6\}$ とおくと、積の微分により $F'(x)=(\log x)^3$ である。また $F(1)=-6$、$F(2)=2\{(\log 2)^3-3(\log 2)^2+6\log 2-6\}$ なので、$F(2)-F(1)$ も同じ値となる。