奈良県立医科大学 2016年数学第14問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

奈良県立医科大学2016年度第14問

以下の $(A),(B),(C)$ の真偽の組合せとして正しいものをアからクの中から選べ。

(A) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=+\infty,\ \lim\limits _{n\to\infty}b_n=+\infty$ ならば， $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(a_n-b_n)=0$ である。

(B) 数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ が収束して， $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\alpha,\ \lim\limits _{n\to\infty}b_n=\beta$ ならば， $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$ である。

ア. (A) 真，(B) 真，(C) 真

イ. (A) 真，(B) 真，(C) 偽

ウ. (A) 真，(B) 偽，(C) 真

エ. (A) 真，(B) 偽，(C) 偽

オ. (A) 偽，(B) 真，(C) 真

カ. (A) 偽，(B) 真，(C) 偽

キ. (A) 偽，(B) 偽，(C) 真

ク. (A) 偽，(B) 偽，(C) 偽

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

各命題の一般化が成り立たないことを、条件を満たす具体的な数列で反証する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(A) 偽、(B) 偽、(C) 偽。したがってク。

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(A) は偽である。例えば $a_n=2n,\ b_n=n$ とすると、 $n\to\infty$ で $a_n\to+\infty,\ b_n\to+\infty$ であるが、 $a_n-b_n=n\to+\infty$ となり、差は $0$ に収束しない。

(B) は偽である。 $a_n=1/n,\ b_n=1/n^2$ とすると、両数列はともに $0$ に収束する一方、すべての $n$ で $b_n\ne0$ であり、 $a_n/b_n=n\to+\infty$ となる。したがって商は有限の値に収束しない。またこの例では $\alpha=\beta=0$ なので、右辺 $\alpha/\beta$ も定義されない。商の極限の公式には、少なくとも $\beta\ne0$ という条件が必要である。

(C) は偽である。 $a_n=b_n=(-1)^n$ とすると、 $a_nb_n=1$ なので積の数列は $1$ に収束する。しかし $a_n,b_n$ はそれぞれ偶数番目で $1$ 、奇数番目で $-1$ をとり続けるため、どちらも収束しない。

以上より (A)、(B)、(C) はすべて偽であり、正しい選択肢はクである。

この問題で使う考え方

数列の極限

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。