8奈良県立医科大学 2016年 数学 第8問解答・解説

点A,Bの座標をそれぞれ $A=(0,u),\ B=(v,0)$ とおく。(AとBは異なるので $(u,v)\ne(0,0)$ である。)

$C=A+t(B-A)$ とおくと、Cが線分ABを外分するので $t<0$ または $t>1$ である。t>1 のとき $AC:CB=t:(t-1)=a:b$ より $\displaystyle t=\frac{a}{a-b}$ となる。t<0 のとき $AC:CB=(-t):(1-t)=a:b$ より、同じく $\displaystyle t=\frac{a}{a-b}$ となる。したがって外分点の座標は $$\displaystyle p=\frac{av}{a-b},\qquad q=-\frac{bu}{a-b}.$$ よって $$\displaystyle b^2p^2+a^2q^2=\frac{a^2b^2}{(a-b)^2}(u^2+v^2).$$ $OA$ と $OB$ は直交するから、$u^2+v^2=AB^2$ である。したがって、求める値は $$\displaystyle \boxed{\frac{a^2b^2}{(a-b)^2}AB^2}$$ である。ここで $AB$ は線分ABの長さを表す。外分点が有限に存在するため、比 $a:b$ は正で a$\ne$ b である。