9奈良県立医科大学 2016年 数学 第9問解答・解説

一辺が 2 であるから、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$ であり、辺 $BC$ についても同様に $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=2$ である。実際、$\lvert\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\rvert^2=\lvert\overrightarrow{AB}\rvert^2=4$ より従う。$\overrightarrow{OA}$ 方向の単位ベクトルを $\boldsymbol e$ とすると、$\overrightarrow{OB}\cdot\boldsymbol e=\overrightarrow{OC}\cdot\boldsymbol e=1$ である。

$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ の $OA$ に垂直な成分をそれぞれ $\boldsymbol b=\overrightarrow{OB}-\boldsymbol e$、$\boldsymbol c=\overrightarrow{OC}-\boldsymbol e$ とおく。このとき $\boldsymbol b\cdot\boldsymbol e=\boldsymbol c\cdot\boldsymbol e=0$ であり、 $$\lvert\boldsymbol b\rvert^2=\lvert\boldsymbol c\rvert^2=4-1=3,\qquad \boldsymbol b\cdot\boldsymbol c=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}-1-1+1=1.$$ $BE:EC=3:2$ だから、$\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac25\overrightarrow{OB}+\frac35\overrightarrow{OC}$ である。よって $E$ から直線 $OA$ までの距離の二乗は、 $$\displaystyle \left\lvert\frac25\boldsymbol b+\frac35\boldsymbol c\right\rvert^2=\frac{4\cdot3+9\cdot3+12\cdot1}{25}=\frac{51}{25}.$$ したがってその距離は $\displaystyle \frac{\sqrt{51}}5$ である。また $\displaystyle OD=\frac23 OA=\frac43$ なので、 $$\displaystyle \text{面積}(\triangle ODE)=\frac12\cdot\frac43\cdot\frac{\sqrt{51}}5=\boxed{\frac{2\sqrt{51}}{15}}.$$