12奈良県立医科大学 2016年 数学 第12問解答・解説

分母の平方根の和を用いて分子を有理化する。 $$\displaystyle \begin{aligned} &\frac{\sqrt{1-\tan 2x}-\sqrt{1+\tan 2x}}{x}\\ &=\frac{(1-\tan 2x)-(1+\tan 2x)}{x\left(\sqrt{1-\tan 2x}+\sqrt{1+\tan 2x}\right)}\\ &=-2\cdot\frac{\tan 2x}{2x}\cdot\frac{2}{\sqrt{1-\tan 2x}+\sqrt{1+\tan 2x}}. \end{aligned}$$ $x\to0$ のとき、$\tan 2x\to0$ であり、十分小さい$x$では両方の平方根の中身は正である。また、基本極限$\displaystyle \lim\limits _{t\to0}\frac{\tan t}{t}=1$ より$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\tan 2x}{2x}=1$ である。したがって、 $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sqrt{1-\tan 2x}-\sqrt{1+\tan 2x}}{x}=-2\cdot1\cdot\frac{2}{1+1}=-2.$$