2奈良県立医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$\sin$(3$\theta$+2$\theta$)+$\sin$(3$\theta$-2$\theta$)=$\sin$5$\theta$+$\sin$$\theta$=2$\sin$3$\theta$$\cos$2$\theta$ より、 $$\sin5\theta=2\sin3\theta\cos2\theta-\sin\theta.$$ ここで、加法定理と $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ から $$\sin3\theta=\sin(2\theta+\theta)=2\sin\theta\cos^2\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta, \qquad \cos2\theta=1-2\sin^2\theta$$ である。$\sin\theta=t$ を代入すると $$\sin5\theta=2(3t-4t^3)(1-2t^2)-t=5t-20t^3+16t^5.$$ したがって、$t^3$ の係数は $\boxed{-20}$ である。確認として $t=1$ のとき右辺は $1$ となり、$\theta=\pi/2$ における $\sin5\theta=1$ と一致する。