6奈良県立医科大学 2016年 数学 第6問解答・解説

曲線の交点では$a\sin x=\tan x$である。$x=0$は交点であり、$\displaystyle 0<x<\dfrac{\pi}{2}$では$\sin x>0$だから、もう一つの交点は$\displaystyle a=\dfrac{1}{\cos x}$、すなわち$\displaystyle \cos x=\dfrac1a$を満たす。$a>1$より$\displaystyle 0<\dfrac1a<1$であり、$\displaystyle 0<x<\dfrac{\pi}{2}$で$\cos x$は単調に減少するから、この条件を満たす角$\alpha$はただ一つ存在する。$0<x<\alpha$では$\displaystyle \cos x>\dfrac1a$なので$\displaystyle a\sin x-\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}(a\cos x-1)>0$。したがってこの区間では$C_1$が$C_2$の上にある。$\displaystyle \cos\alpha=\dfrac1a$を用いると、求める面積は$$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^\alpha(a\sin x-\tan x)\,dx\\&=[-a\cos x+\ln(\cos x)]_0^\alpha\\&=(-1-\ln a)-(-a)=a-1-\ln a.\end{aligned}$$さらに$f(a)=a-1-\ln a$とおくと、$f(1)=0$、$\displaystyle f'(a)=1-\dfrac1a>0\;(a>1)$である。よって$a>1$で面積は正となり、条件とも一致する。