4奈良県立医科大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$1/a$ が定義されるため、$a\ne0$ である。二項定理で展開すると、 $$\displaystyle b^5=\left(a+\frac1a\right)^5=a^5+5a^3+10a+\frac{10}{a}+\frac{5}{a^3}+\frac{1}{a^5} =\left(a^5+\frac{1}{a^5}\right)+5\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right)+10b.$$ また、 $$\displaystyle b^3=\left(a+\frac1a\right)^3=a^3+\frac{1}{a^3}+3\left(a+\frac1a\right) =a^3+\frac{1}{a^3}+3b$$ より、$a^3+1/a^3=b^3-3b$ である。これを上式に代入して整理すると、 $$\displaystyle a^5+\frac{1}{a^5}=b^5-5(b^3-3b)-10b=b^5-5b^3+5b.$$ 検算として $a=1$ とすれば $b=2$ であり、右辺は $32-40+10=2$ となって $a^5+1/a^5=2$ と一致する。したがって、求める多項式は $b^5-5b^3+5b$ である。