奈良県立医科大学 2016年数学第11問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面

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1問題

奈良県立医科大学2016年度第11問

複素数平面上に，原点 $O$ とは異なる2点 $A(\alpha),B(\beta)$ があり， $\beta=(1-i)\alpha$ を満たしている。このとき， $\triangle OAB$ はどのような三角形か求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

複素数の差と絶対値から三辺を求め、三平方の定理の逆を用いる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

直角二等辺三角形（ $\quad \angle OAB=90^\circ,\space{}OA=AB\quad$ ）。

4解答

解答を見る途中式つきの解答

条件より $\alpha\ne0$ であり、 $\beta=(1-i)\alpha$ である。各辺の長さを複素数の絶対値で表すと、 $\begin{aligned}OA&=|\alpha|,\\AB&=|\beta-\alpha|=|((1-i)-1)\alpha|=|-i\alpha|=|\alpha|,\\OB&=|\beta|=|(1-i)\alpha|=|1-i|\,|\alpha|=\sqrt{2}|\alpha|.\end{aligned}$ よって $OA=AB>0$ であり、 $OA^2+AB^2=2|\alpha|^2=OB^2$ となる。三平方の定理の逆より $\angle OAB=90^\circ$ 。したがって、 $\triangle OAB$ は $A$ を直角とする直角二等辺三角形である。

この問題で使う考え方

複素数平面

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