4東京大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$z=x+iy$ とおく。複素数u,vが表す平面ベクトルの内積は$\operatorname{Re}$(u$\overline v$)である。各頂点での二つの辺ベクトルの内積は $$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &=\operatorname{Re}\!\left((z-1)\overline{(z^2-1)}\right) =|z-1|^2(x+1),\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} &=\operatorname{Re}\!\left((1-z)\overline{(z^2-z)}\right) =-|z-1|^2x,\\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} &=\operatorname{Re}\!\left((1-z^2)\overline{(z-z^2)}\right) =|z-1|^2(|z|^2+x). \end{aligned}$$ 三角形が鋭角三角形であるための必要十分条件は、これら三つの内積がすべて正となることである。第2式が正ならz$\ne$1なので|z-1|^2>0であり、条件は $$x+1>0,\qquad x<0,\qquad x^2+y^2+x>0$$ となる。最後の不等式は $$\displaystyle \left(x+\frac12\right)^2+y^2>\frac14 \quad\text{すなわち}\quad \left|z+\frac12\right|>\frac12$$ である。よって求める範囲は $$\displaystyle -1<x<0,\qquad \left|z+\frac12\right|>\frac12.$$ すなわち、中心(-1/2,0)、半径1/2の円の外側で、直線x=-1とx=0の間にある部分である。境界はいずれも含まない。図では上下の領域が無限に続く。