5群馬大学 2014年 数学 第5問解答・解説

$A=(a,2),\ B=(b,-4),\ C=(-3,c),\ D=(5,d)$ とおく。頂点の順が $A,B,C,D$ の正方形なので、対辺のベクトルは $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}.$$ したがって $$\overrightarrow{BA}=(a-b,6),\qquad \overrightarrow{CD}=(8,d-c)$$ より $a-b=8,\ d-c=6$、特に $\overrightarrow{BA}=(8,6)$ である。

正方形の隣り合う辺 $\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ は垂直で長さが等しい。$\overrightarrow{BA}=(8,6)$ の長さは $10$ なので、これと垂直で長さ $10$ のベクトルは $$\overrightarrow{BC}=(-6,8)\quad\text{または}\quad \overrightarrow{BC}=(6,-8)$$ の2通りである。一方 $$\overrightarrow{BC}=(-3-b,c+4).$$

第1の場合は $b=3,\ c=4$。$a-b=8,\ d-c=6$ から $a=11,\ d=10$ となるので $$(A,B,C,D)=((11,2),(3,-4),(-3,4),(5,10)).$$ 第2の場合は $b=-9,\ c=-12$。同様に $a=-1,\ d=-6$ となるので $$(A,B,C,D)=((-1,2),(-9,-4),(-3,-12),(5,-6)).$$ いずれも各点は指定された直線上にあり、隣り合う辺は垂直かつ等長、対辺のベクトルも一致する。よってどちらも条件を満たす正方形である。