4群馬大学 2014年 数学 第4問解答・解説

Classification: PASS. This is a source-based quality supplement for adopted answer F11, not evidence of a fresh blind independent answer. The adopted mathematical body requires no change; accepted reference B11 gives the same result.

接線の条件と点P $u=t+1$（$u\ge1$）とおくと $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=2u+\frac1u,\quad \frac{dy}{dt}=2u-\frac1u,\quad \frac{dy}{dx}=\frac{2u^2-1}{2u^2+1}.$$ 指定された傾きと等しいとおき、分母を払うと $u^2=e$。$u\ge1$ より $u=\sqrt e$、$t=\sqrt e-1$ となる。したがって $t^2+2t=e-1$、$\log(t+1)=1/2$ なので $$\displaystyle a=e-\frac12,\qquad b=e-\frac32.$$

体積 回転軸に沿う方向と、それに垂直な方向の直交座標 $$\displaystyle X=\frac{x+y}{\sqrt2},\qquad Y=\frac{x-y}{\sqrt2}$$ を用いる。軸 $y=x$ は $Y=0$ である。曲線上では $X=\sqrt2(u^2-1)$、$Y=\sqrt2\log u$。原点からPまでの曲線部分に対応する範囲は $1\le u\le\sqrt e$ である。P,Qは $x+y=2(e-1)$ を満たすので、線分PQは $X=\sqrt2(e-1)$ における端の断面となる。囲まれた有限の領域は、この範囲で $0\le Y\le Y_C(X)$ となる部分だから、回転した断面は円板である。 $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int Y^2\,dX=4\sqrt2\pi\int_1^{\sqrt e}u(\log u)^2\,du,\\ \int u(\log u)^2\,du&=\frac{u^2}{2}(\log u)^2-\frac{u^2}{2}\log u+\frac{u^2}{4},\\ \int_1^{\sqrt e}u(\log u)^2\,du&=\frac{e-2}{8},\qquad V=\frac{\pi}{\sqrt2}(e-2). \end{aligned}$$ B11's coordinates $s=(x+y)/2$, $r=(x-y)/2$ give the same result using axial element $\sqrt2\,ds$ and radius $\sqrt2r$. The forms $\displaystyle \frac{\sqrt2\pi}{2}(e-2)$ and $\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt2}(e-2)$ are equal.

Disposition

・ Adopted candidate: $a=e-1/2$, $b=e-3/2$, and $V=\pi(e-2)/\sqrt2$; the source, F11, and B11 agree.

・ Condition: state that the boundary uses the arc from $t=0$ to P, as specified by $t\geq0$.

・ Needs confirmation: no unresolved mathematical issue. The scanned source page was visually inspected because its PDF text layer is empty.

The adopted F11 answer body and display tags are retained. F11 and B11 unit labels agree, while their method labels differ in granularity and some categories; B11-only tags are not merged.