1群馬大学 2014年 数学 第1問解答・解説

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ をそれぞれ1から9までの整数とし, $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ の中に同じ数がいくつあってもよいとする。$[a_{1}a_{2}a_{3}]$ は3桁の整数 $a_{1} \times 100 + a_{2} \times 10 + a_{3} \times 1$ を表し, $[b_{1}b_{2}b_{3}]$ は3桁の整数 $b_{1} \times 100 + b_{2} \times 10 + b_{3} \times 1$ を表し, $[b_{1}b_{2}b_{3}26]$ は5桁の整数 $b_{1} \times 10000 + b_{2} \times 1000 + b_{3} \times 100 + 2 \times 10 + 6 \times 1$ を表すとする。

p, q, r を次の条件とする。

p : $[a_{1}a_{2}a_{3}] - 1$ は 50 で割り切れる。 q : $[b_{1}b_{2}b_{3}26]$ は $[a_{1}a_{2}a_{3}]$ の 26 倍である。 r : $[b_{1}b_{2}b_{3}]$ は整数の 2 乗ではない。 このとき, 以下の問いに答えよ。

(1) 命題「q $\Longrightarrow$ p」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ。

(2) 条件 q を満たす組 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3})$ は何組あるか。

(3) 命題「q $\Longrightarrow$ r」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ。