3札幌医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

まず、$2\equiv -1\pmod 3$ より、$2^N\equiv(-1)^N\pmod 3$ である。したがって、$N$ が偶数のとき余りは$1$、奇数のとき余りは$2$ である。

$\displaystyle a=\dfrac12$ のとき、各結果は同じ確率で起こり、$X$ は$0,1,\ldots,2^n-1$ の各整数を同じ確率でとる。$2^n=3q+r$ とおくと、上の余りの結果から、$n$ が偶数なら$r=1$、奇数なら$r=2$ である。いずれの場合も、この範囲にある3の倍数は$0,3,\ldots,3q$ の$q+1$ 個である。よって$p_n=(q+1)/2^n$ となり、$n$ が偶数なら$p_n=(2^n+2)/(3\cdot2^n)$、奇数なら$p_n=(2^n+1)/(3\cdot2^n)$ である。

$n=1,2,3,4$ について、$X$ が3の倍数となる結果を数える。$n=1$ では$(x_1)=(0)$ のみで、$p_1=a$。$n=2$ では$(x_1,x_2)=(0,0),(1,1)$ であるから、$p_2=a^2+(1-a)^2=1-2a+2a^2$。$n=3$ では$(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0),(1,1,0),(0,1,1)$ であるから、$p_3=a^3+2a(1-a)^2=2a-4a^2+3a^3$。$n=4$ では、$X=0,3,6,9,12,15$ に対応する結果が該当し、そのうち裏が0回、2回、4回のものがそれぞれ1個、4個、1個である。したがって$p_4=a^4+4a^2(1-a)^2+(1-a)^4=1-4a+10a^2-12a^3+6a^4$。

最後に最小値を求める。$\displaystyle p_2=a^2+(1-a)^2=2(a-\dfrac12)^2+\dfrac12$ なので、最小値は$\displaystyle \dfrac12$ であり、$\displaystyle a=\dfrac12$ のときにとる。$t=a(1-a)$ とおくと$\displaystyle 0<t\leq\dfrac14$ であり、$\displaystyle p_4=a^4+(1-a)^4+4a^2(1-a)^2=1-4t+6t^2=6(t-\dfrac13)^2+\dfrac13$。$\displaystyle t\leq\dfrac14<\dfrac13$ だから、$\displaystyle (t-\dfrac13)^2$ は$t$ が大きいほど小さくなり、最小値は$\displaystyle t=\dfrac14$、すなわち$\displaystyle a=\dfrac12$ のときにとる。よって$p_4$ の最小値は$\displaystyle \dfrac38$ である。