1札幌医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) 正八面体を、中央の正方形を底面とする上下二つの合同な四角錐に分ける。底面の一辺は $a$ であり、底面の中心を $O$、頂点を $P$、底面の頂点を $A$ とすると、$\displaystyle OA=\frac{a}{\sqrt{2}}$、$PA=a$ である。したがって四角錐の高さ $h$ は $$\displaystyle h=\sqrt{PA^2-OA^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$ よって体積は $$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{3}a^2h=2\cdot\frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}a^3.$$

(2) 最大値が $1$ であるためには、$a\le x\le a+1$ を満たすすべての $x$ で $|x^2-1|\le1$ となり、かつこの等号が少なくとも一つの $x$ で成り立つことが必要十分である。まず $$|x^2-1|\le1 \text{、すなわち } -1\le x^2-1\le1 \text{、すなわち } 0\le x^2\le2 \text{、すなわち } -\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}.$$ したがって区間全体がこの範囲に含まれる条件は $$-\sqrt{2}\le a,\qquad a+1\le\sqrt{2},$$ すなわち $-\sqrt{2}\le a\le\sqrt{2}-1$ である。また $|x^2-1|=1$ となるのは $x=-\sqrt{2},0,\sqrt{2}$ のときである。$a\le x\le a+1$ の範囲がこれらの値を含む条件を上の範囲と合わせると、$-\sqrt{2}$ を含む場合は $a=-\sqrt{2}$、$0$ を含む場合は $-1\le a\le0$、$\sqrt{2}$ を含む場合は $a=\sqrt{2}-1$ となる。したがって求める条件は $$a=-\sqrt{2},\qquad -1\le a\le0,\qquad a=\sqrt{2}-1$$ のいずれかである。いずれの場合も区間全体は $-\sqrt2\le x\le\sqrt2$ の範囲 に含まれ、さらに $|x^2-1|=1$ となる点を含むため、最大値は確かに $1$ である。

(3)(i) $2^n$ は $n$ とともに増加し、$2^9=512<1000$、$2^{10}=1024$、$2^{13}=8192$、$2^{14}=16384>9999$ である。したがって4桁となるのは $$n=10,11,12,13$$ である。

(3)(ii) $5^{13}=1220703125$ より $\displaystyle 10^9<5^{13}<\frac54\,10^9$。また $5^{10}=9765625<10485760=10\cdot4^{10}$ だから $(5/4)^{10}<10$。従って $10^{90}<5^{130}<(5/4)^{10}10^{90}<10^{91}$ であり、91桁である。