2札幌医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$\vec{OA}=\boldsymbol{a},\quad \vec{OB}=\boldsymbol{b},\quad \vec{OC}=\boldsymbol{c}$ とおく。内分の定義から $$\vec{OP}=s\boldsymbol{a},\quad \vec{OS}=s\boldsymbol{c},\quad \vec{OQ}=t\boldsymbol{a}+(1-t)\boldsymbol{b},\quad \vec{OR}=(1-t)\boldsymbol{b}+t\boldsymbol{c}.$$ ただし $0<s,t<1$ である。

(1) 三角形 $OAC$ で $OP/OA=OS/OC=s$ だから、平行線と線分比の関係より $PS\parallel AC$ であり、$PS=s\,AC$ である。三角形 $BAC$ では、内分比から $BQ/BA=BR/BC=t$ となるので、平行線と線分比の関係より $QR\parallel AC$ であり、$QR=t\,AC$ である。従って $PS\parallel QR$。2本の平行線 $PS$ と $QR$ は同一平面上にあるから、点 $P,Q,R,S$ は同一平面上にある。

(2) $PS$ と $QR$ の間の距離を $h$ とする。三角形 $PQR$ と $PRS$ はそれぞれ平行線 $QR$ と $PS$ を底辺とし、高さはいずれも $h$ である。従って $$S_{PQR}:S_{PRS}=QR:PS=t:s.$$ 同じく、三角形 $QRS$ と $PQS$ もそれぞれ $QR$ と $PS$ を底辺とし、高さが $h$ だから $$S_{QRS}:S_{PQS}=QR:PS=t:s.$$ 問題の内分点の定義により $$KG:GL=S_{PRS}:S_{PQR}=s:t,\qquad MG':G'N=S_{QRS}:S_{PQS}=t:s.$$ 三角形の重心の位置ベクトルを $$\displaystyle \begin{aligned}\vec{OK}&=\frac{\vec{OP}+\vec{OQ}+\vec{OR}}3,\\ \vec{OL}&=\frac{\vec{OP}+\vec{OR}+\vec{OS}}3,\\ \vec{OM}&=\frac{\vec{OP}+\vec{OQ}+\vec{OS}}3,\\ \vec{ON}&=\frac{\vec{OQ}+\vec{OR}+\vec{OS}}3\end{aligned}$$ とする。内分点の公式から $$3(s+t)\vec{OG} =(s+t)\vec{OP}+t\vec{OQ}+(s+t)\vec{OR}+s\vec{OS},$$ $$3(s+t)\vec{OG'} =s\vec{OP}+(s+t)\vec{OQ}+t\vec{OR}+(s+t)\vec{OS}.$$ 右辺どうしの差は $$t\vec{OP}-s\vec{OQ}+s\vec{OR}-t\vec{OS}=\boldsymbol{0}.$$ 実際、点の位置ベクトルを代入すると $$ts\boldsymbol{a}-s\{t\boldsymbol{a}+(1-t)\boldsymbol{b}\} +s\{(1-t)\boldsymbol{b}+t\boldsymbol{c}\}-ts\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}.$$ $s+t>0$ なので $\vec{OG}=\vec{OG'}$、従って $G=G'$ である。

(3) (2)の $G$ の式に点の位置ベクトルを代入すると $$3(s+t)\vec{OG} =(s^2+st+t^2)(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}) +(1-t)(s+2t)\boldsymbol{b}.$$ $$\displaystyle u=\frac{s^2+st+t^2}{3(s+t)},\qquad v=\frac{(1-t)(s+2t)}{3(s+t)}$$ とおけば $u>0$ であり、 $$\vec{OG}=u(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})+v\boldsymbol{b}.$$ $T$ を $AC$ の中点とすると $$\displaystyle \vec{OT}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}}2 =\frac{\vec{OG}-v\vec{OB}}{2u}.$$ よって $\vec{OT}$ は $\vec{OB}$ と $\vec{OG}$ の一次結合であるから、$T$ は $O,B,G$ を通る平面上にある。さらに $u>0$ と $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ の一次独立性から、$\vec{OG}$ は $\vec{OB}$ の定数倍ではない。従って $O,B,G$ は一直線上になく、3点を通る平面は定まり、その平面は $AC$ の中点 $T$ を通る。