2群馬大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) $a=1/2$ 両点は高さ $b$ にあり、横座標は $x_1=\sqrt{2(b-1)}$、$x_2=\sqrt{2b}$。よって $$\displaystyle d=x_2-x_1=\frac{2}{\sqrt{2b}+\sqrt{2b-2}}.$$ 分母は $b>1$ で増加する。等号 $d=1$ は $\sqrt{2b}=3/2$, $\sqrt{2b-2}=1/2$ で生じ、$b=9/8$。従って $d\le1$ は $$\displaystyle \boxed{b\ge\frac98}.$$

(2) $a\ne1/2$ $P_1=(t,b)$、$t=\sqrt{(b-1)/a}>0$ とおくと $b=1+at^2$、$P_2$ の横座標は $\sqrt{2at^2+2}$。

$0<a<1/2$ では距離条件を両向きに分けると $$\sqrt{2at^2+2}\le t+1,\qquad t\le\sqrt{2at^2+2}+1.$$ 平方して得る不等式を解くと、$\rho=\sqrt{2(1-a)}$ として $$\displaystyle \frac{\rho-1}{1-2a}\le t\le\frac{\rho+1}{1-2a}.$$

$1/2<a\le1$ では $\sqrt{2at^2+2}>t$ なので距離条件は $\sqrt{2at^2+2}\le t+1$ と同値。平方して $$\displaystyle \frac{1-\rho}{2a-1}\le t\le\frac{1+\rho}{2a-1}.$$ $a=1$ では両端が1となる。$a>1$ では対応する二次不等式の判別式 $8(1-a)$ が負で上に開くため解はない。

$b=1+at^2$ は $t>0$ で増加するから、求める範囲は $$\displaystyle \boxed{ \begin{cases} \displaystyle 1+a\left(\frac{\rho-1}{1-2a}\right)^2\le b\le1+a\left(\frac{\rho+1}{1-2a}\right)^2,&0<a<\frac12,\\[1em] \displaystyle 1+a\left(\frac{1-\rho}{2a-1}\right)^2\le b\le1+a\left(\frac{1+\rho}{2a-1}\right)^2,&\frac12<a\le1,\\[1em] \text{解なし},&a>1, \end{cases} \quad \rho=\sqrt{2(1-a)}.}$$