3群馬大学 2014年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle \log_{5832}n=\frac{p}{q}$ ($p,q$ は整数, $q>0$, $\gcd(p,q)=1$)とおく。条件から$\displaystyle \frac12<\frac pq<1$。$5832=2^3\cdot3^6=18^3$なので、$n=2^{3p/q}3^{6p/q}$である。nが自然数であるためには、素因数2,3の指数$3p/q,6p/q$がともに整数でなければならない。$\gcd(p,q)=1$より $q$ は $3$ と $6$ の両方を割り、$q\mid3$。従って$q=1$または $q=3$。$q=1$では $\displaystyle \frac12<p<1$を満たす整数 $p$がない。$q=3$なら $\displaystyle \frac32<p<3$より $p=2$。よって$\displaystyle \log_{5832}n=\frac23$であり、$n=5832^{2/3}=(18^3)^{2/3}=18^2=324$。実際に$2/3$は指定範囲に入る。