4佐賀大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $m,n$ を互いに素な自然数とし、$\displaystyle x=\dfrac{n}{m}$ とおく。$p^{x}$ が有理数であると仮定し、$m=1$ を示す。　 $q=p^{x}\;(>0)$ とおくと、仮定より $q$ は正の有理数であるから、互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle q=\dfrac{a}{b}$（既約分数）と表せる。指数法則より$$\displaystyle q^{m}=\left(p^{\frac{n}{m}}\right)^{m}=p^{n}$$であるから、$\displaystyle \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}=p^{n}$、すなわち$$a^{m}=p^{n}b^{m}\qquad(\ast)$$が成り立つ。　 $\gcd(a,b)=1$ より $\gcd(a^{m},b^{m})=1$ である。一方 $(\ast)$ より $a^{m}$ は $b^{m}$ の倍数であるから、$b^{m}$ は $a^{m}$ の約数でもある。これと $\gcd(a^{m},b^{m})=1$ より $b^{m}=1$、よって $b=1$ である。ゆえに $q=a$ は自然数であり、$(\ast)$ から$$a^{m}=p^{n}$$を得る。　 ここで $a$ が $p$ 以外の素因数 $\ell$ をもつと仮定すると、$\ell$ は $a^{m}=p^{n}$ の素因数となるが、$p^{n}$ の素因数は $p$ のみであるから矛盾する。したがって $a$ の素因数は $p$ 以外にはない。また $n$ は自然数だから $n\ge 1$ であり $p^{n}\ge p\ge 2$ となるので $a=1$ はあり得ない。よって$$a=p^{k}\quad(k\ \text{は自然数})$$と書ける。これを $a^{m}=p^{n}$ に代入すると $p^{km}=p^{n}$ となり、$p\ge 2$ だから$$km=n$$が成り立つ。したがって $m\mid n$ である。$m\mid n$ のとき $m,n$ の最大公約数は $m$ 自身であるから $\gcd(m,n)=m$ となる。仮定 $\gcd(m,n)=1$ と合わせて$$m=1$$を得る。$\blacksquare$　 　 (2)　 $p$ は素数だから $p\ge 2>0$ であり、任意の実数 $x$ に対して $p^{x}>0$ である。したがって方程式$$p^{x}=-x^{2}+9x-5$$が成り立つためには$$-x^{2}+9x-5>0,\quad\text{すなわち}\quad x^{2}-9x+5<0$$が必要である。$x^{2}-9x+5=0$ の解は $\displaystyle x=\dfrac{9\pm\sqrt{61}}{2}$ であるから、この不等式の解は$$\displaystyle \frac{9-\sqrt{61}}{2}<x<\frac{9+\sqrt{61}}{2}$$である。$49<61<64$ より $7<\sqrt{61}<8$ であるから、端点は$$\displaystyle \frac12<\frac{9-\sqrt{61}}2<1,\qquad 8<\frac{9+\sqrt{61}}2<\frac{17}{2}.$$したがって不等式を満たす自然数は $1,2,\ldots,8$ に限られる。　 いま $x$ は有理数の解であるとする。$x$ が有理数であれば $-x^{2}+9x-5$ も有理数であり、方程式より $p^{x}$ はこれと等しいので有理数である。上の考察から $x>0$ であるから、$x$ を互いに素な自然数 $m,n$ を用いて $\displaystyle x=\dfrac{n}{m}$（既約分数）と表せる。$p^{x}$ が有理数であることと (1) の結果から $m=1$ となるので、$x=n$ は自然数（正の整数）である。　 さらに $x$ は不等式 $\displaystyle \dfrac{9-\sqrt{61}}{2}<x<\dfrac{9+\sqrt{61}}{2}$（近似で $0.60<x<8.41$）を満たす自然数であるから$$x=1,2,3,4,5,6,7,8$$である。それぞれの $x$ について $-x^{2}+9x-5$ の値を計算すると次のようになる。$$\begin{array}{c|cccccccc}x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\\hline -x^{2}+9x-5 & 3 & 9 & 13 & 15 & 15 & 13 & 9 & 3\end{array}$$方程式 $p^{x}=-x^{2}+9x-5$ を満たす素数 $p$ が存在するのは、右辺が素数の $x$ 乗になっている場合である。

・ $x=1$：$p=3$ とすると $p^{1}=3$ となり成立する（$3$ は素数）。

・ $x=2$：$p=3$ とすると $p^{2}=9$ となり成立する。

・ $x=3$：$13$ は素数の3乗ではない（$2^{3}=8,\ 3^{3}=27$）から不適。

・ $x=4$：$15$ は素数の4乗ではない（$1^{4}=1,\ 2^{4}=16$）から不適。

・ $x=5$：$15$ は素数の5乗ではない（$2^{5}=32$）から不適。

・ $x=6$：$13$ は素数の6乗ではない（$2^{6}=64$）から不適。

・ $x=7$：$9$ は素数の7乗ではない（$2^{7}=128$）から不適。

・ $x=8$：$3$ は素数の8乗ではない（$2^{8}=256$）から不適。

以上より、条件を満たす組は$$(p,x)=(3,1),\ (3,2)$$の2組のみである。　 検算：$x=1$ のとき左辺 $3^{1}=3$、右辺 $-1+9-5=3$ で一致する。$x=2$ のとき左辺 $3^{2}=9$、右辺 $-4+18-5=9$ で一致する。いずれも成立することが確認できる。