3佐賀大学 2015年 数学 第3問解答・解説

正方形の頂点を時計回りに $A,B,C,D$ とし，これらを整数 $0,1,2,3$ で表す（頂点の位置は $4$ を法とした値と考える）。硬貨を1回投げるごとに，表（確率 $\displaystyle \tfrac12$）が出れば位置の値は $1$ 増え，裏（確率 $\displaystyle \tfrac12$）が出れば位置の値は $2$ 増える（いずれも $\bmod 4$）。ただし位置の値が $3$（頂点 $D$）になった時点でゲームは終了し，以後硬貨は投げられない。

$n$ 回投げ終えた時点（ゲームがまだ終了していない場合）に点 $P$ が頂点 $A,B,C$ にある確率を，それぞれ $p_n,\ q_n,\ r_n$ とする（頂点 $D$ で止まった場合はそれ以降を考えない）。定義より $p_0=1,\ q_0=0,\ r_0=0$ である。

各頂点からの推移は次の通りである。

・ $A(0)$ から：表で $B(1)$，裏で $C(2)$。

・ $B(1)$ から：表で $C(2)$，裏で $D(3)$（ゲーム終了）。

・ $C(2)$ から：表で $D(3)$（ゲーム終了），裏で $A(0)$（$2+2=4\equiv 0$）。

したがって，$n\ge 0$ について $$\displaystyle p_{n+1}=\frac12 r_n,\qquad q_{n+1}=\frac12 p_n,\qquad r_{n+1}=\frac12 p_n+\frac12 q_n. \tag{$\ast$}$$

(1) ($\ast$) に $n=0$ を代入すると $$\displaystyle p_1=\frac12r_0=0,\quad q_1=\frac12p_0=\frac12,\quad r_1=\frac12p_0+\frac12q_0=\frac12.$$ $n=1$ を代入すると $$\displaystyle p_2=\frac12r_1=\frac14,\quad q_2=\frac12p_1=0,\quad r_2=\frac12p_1+\frac12q_1=\frac14.$$ $n=2$ を代入すると $$\displaystyle p_3=\frac12r_2=\frac18,\quad q_3=\frac12p_2=\frac18,\quad r_3=\frac12p_2+\frac12q_2=\frac18.$$ よって $\displaystyle p_2=\dfrac14,\ p_3=\dfrac18$ である。

[検算] $p_3$ を直接数え上げて確認する。$3$ 回とも表なら移動量の和は $3$ となり，その時点で頂点 $D$ に到達しゲームが終了するため，$P=A$ にはならない。$3$ 回投げ終えて $P$ が $A$ にいるには移動量の和が $4$ の倍数である必要があり，$3$ 回で和が $4$ になるのは（表,表,裏）の並べ替え $3$ 通りだけである。しかし（表,裏,表）は $2$ 回目終了時点で和が $3$ となりゲームが終了するため無効，（裏,表,表）も同様に $2$ 回目終了時点で和が $3$ となり無効である。有効なのは（表,表,裏）の順だけで，確率は $(1/2)^3=1/8$ となり，$p_3=1/8$ と一致する。

(2) ($\ast$) を続けて用いる。$n=3$： $$\displaystyle p_4=\frac12r_3=\frac1{16},\quad q_4=\frac12p_3=\frac1{16},\quad r_4=\frac12p_3+\frac12q_3=\frac18.$$ $n=4$： $$\displaystyle p_5=\frac12r_4=\frac1{16},\quad q_5=\frac12p_4=\frac1{32},\quad r_5=\frac12p_4+\frac12q_4=\frac1{16}.$$ よって $\displaystyle p_4=\dfrac1{16},\ p_5=\dfrac1{16}$ である。

[検算] $p_4$ も直接確認する。$4$ 回投げて和が $4$ の倍数になるのは和 $=4$（表 $4$ 回）または和 $=8$（裏 $4$ 回）のときに限られる（他の組合せでは和が $5,6,7$ となり $4$ の倍数にならない）。和 $=4$ となる（表,表,表,表）は $3$ 回目終了時点で和が $3$ となりゲームが終了するため無効。和 $=8$ となる（裏,裏,裏,裏）は途中経過の和が $2,4,6,8$ で，一度も $3$ や $7$（頂点 $D$）にならないため有効であり，確率は $(1/2)^4=1/16$ である。よって $p_4=1/16$ と一致する。

(3) ($\ast$) から $q_n,r_n$ を消去し，$p_n$ だけの漸化式を作る。$n\ge1$ で $\displaystyle q_n=\dfrac12p_{n-1}$ であるから，$n\ge2$ で $$\displaystyle r_n=\frac12p_{n-1}+\frac12q_{n-1}=\frac12p_{n-1}+\frac14p_{n-2}.$$ これを $\displaystyle p_{n+1}=\dfrac12r_n$ に代入すると，$n\ge2$ で $$\displaystyle p_{n+1}=\frac14p_{n-1}+\frac18p_{n-2}.$$ 添字を $m=n+1$ とおき直すと，$m\ge3$ で $$\displaystyle p_m=\frac14p_{m-2}+\frac18p_{m-3}. \tag{$\ast\ast$}$$ 初期値 $\displaystyle p_0=1,\ p_1=0,\ p_2=\dfrac14$ を用いて ($\ast\ast$) を順次適用する。 $$\displaystyle p_3=\frac14p_1+\frac18p_0=\frac18,\quad p_4=\frac14p_2+\frac18p_1=\frac1{16},\quad p_5=\frac14p_3+\frac18p_2=\frac1{32}+\frac1{32}=\frac1{16}$$ となり，(1)(2) の結果と一致して漸化式の正しさが確認できる。続けて $$\displaystyle p_6=\frac14p_4+\frac18p_3=\frac1{64}+\frac1{64}=\frac1{32},\qquad p_7=\frac14p_5+\frac18p_4=\frac1{64}+\frac1{128}=\frac3{128},$$ $$\displaystyle p_8=\frac14p_6+\frac18p_5=\frac1{128}+\frac1{128}=\frac1{64},\qquad p_9=\frac14p_7+\frac18p_6=\frac3{512}+\frac1{256}=\frac5{512},$$ $$\displaystyle p_{10}=\frac14p_8+\frac18p_7=\frac1{256}+\frac3{1024}=\frac7{1024},\qquad p_{11}=\frac14p_9+\frac18p_8=\frac5{2048}+\frac1{512}=\frac9{2048},$$ $$\displaystyle p_{12}=\frac14p_{10}+\frac18p_9=\frac7{4096}+\frac5{4096}=\frac{12}{4096}=\frac3{1024}.$$ よって $\displaystyle p_{12}=\dfrac3{1024}$ である。

[検算] $P_n:=2^n p_n$（$n=0,\dots,12$）とおくと，($\ast\ast$) の両辺に $2^m$ を掛けて，整数列 $P_n$ が漸化式 $P_m=P_{m-2}+P_{m-3}$（$m\ge3$，$P_0=1,P_1=0,P_2=1$）を満たすことがわかる。実際に $P_0,\dots,P_{12}=1,0,1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12$ を計算すると，例えば $P_{12}=P_{10}+P_9=7+5=12$ が成り立ち，$p_{12}=12/2^{12}=12/4096=3/1024$ に矛盾はない。