2京都大学 2014年 数学 第2問解答・解説

1個の粒子が時刻 $n$ に点 $A$ にいる確率を $q_n$ とする。$q_0=1$ であり、時刻 $n+1$ に $A$ にいるには時刻 $n$ に $B$ または $C$ にいてそこから $A$ に移る必要がある。よって $$\displaystyle q_{n+1}=\frac{1-q_n}{2}.$$ これを解くと $$\displaystyle q_n=\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^n.$$ 対称性から、時刻 $n$ に $B,C$ にいる確率はそれぞれ $$\displaystyle \frac{1-q_n}{2}=\frac13-\frac13\left(-\frac12\right)^n$$ である。2粒子の運動は独立なので、同じ頂点にいる確率は、両方が $A$、両方が $B$、または両方が $C$ にいる確率の和である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} p(n)&=q_n^2+2\left(\frac{1-q_n}{2}\right)^2\\ &=\left(\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^n\right)^2 +2\left(\frac13-\frac13\left(-\frac12\right)^n\right)^2\\ &=\frac13+\frac23\left(\frac14\right)^n. \end{aligned}$$