4京都大学 2014年 数学 第4問解答・解説

移項して因数分解すると $$f(x)^3-2f(x)^2-f(x)+2=(f(x)-2)(f(x)-1)(f(x)+1)\ge0.$$ 従って許される値は $-1\le f(x)\le1$ または $f(x)\ge2$。また $x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0$ より $f$ は連続であり、$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to0$。もし $f(x)\ge2$ となる点があれば、無限遠へ移る途中で $1<f(x)<2$ となる値をとり矛盾する。したがって条件は全ての実数xで $-1\le f(x)\le1$ と同値。

分母が正であることから、これは $$x^2+(1-a)x+(1-b)\ge0,\qquad x^2+(1+a)x+(1+b)\ge0$$ が全実数で成立することと同値。上に開く二次式が常に非負となる条件は判別式が0以下なので $$(1-a)^2-4(1-b)\le0,\qquad (1+a)^2-4(1+b)\le0.$$ 従って $$\displaystyle \frac{(a+1)^2}{4}-1\le b\le1-\frac{(a-1)^2}{4}.$$ 上下限が両立する条件は $a^2\le3$。よって求める領域は $$\displaystyle -\sqrt3\le a\le\sqrt3,\qquad \frac{(a+1)^2}{4}-1\le b\le1-\frac{(a-1)^2}{4}.$$

三次式の符号から許容されるfの値を調べ、連続性と無限遠での極限から実際には−1≦f≦1に限られると示す。分母が正なので二つの二次式が全域で非負という条件に直し、判別式からa,bの領域を得る。