3京都大学 2014年 数学 第3問解答・解説

$\theta=\angle A$とおくと$\angle B=2\theta$、$\angle C=\pi-3\theta$であり、$0<\theta<\pi/3$。 $BC=1$と正弦定理、三角形の面積公式から $$\displaystyle S=\frac{\sin2\theta\sin3\theta}{2\sin\theta}=\cos\theta\sin3\theta=\frac12\sin2\theta(2\cos2\theta+1).$$ $x=\cos2\theta$とおけば$-1/2<x<1$、$\sin2\theta=\sqrt{1-x^2}>0$なので $$\displaystyle S^2=\frac14h(x),\quad h(x)=(1-x^2)(2x+1)^2.$$ 微分すると$h'(x)=2(2x+1)(2-x-4x^2)$。区間内では$2x+1>0$であり、二次因子の零点のうち区間内にあるのは$x=(\sqrt{33}-1)/8$だけである。他方の根$(-1-\sqrt{33})/8$は$-1/2$より小さい。 従って$h$はこの点まで増加し、その後減少する。面積は正なので$S^2$の最大と$S$の最大は一致する。よって $$\displaystyle \cos\angle B=\frac{\sqrt{33}-1}{8}.$$