5京都大学 2014年 数学 第5問解答・解説

$3\mid(a^3+b^3)$ であり、立方数は法3で元の数と合同なので $3\mid(a+b)$。$s=a+b=3k$ と置く。因数分解と $ab\not\equiv0\pmod3$ から $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^2-ab+b^2=s^2-3ab=3(3k^2-ab).$$ $3k^2-ab\not\equiv0\pmod3$ だから第二因子は3でちょうど一回割り切れる。従って81=$3^4$ が積を割るには $27\mid s$、ゆえに $s\ge27$ が必要である。さらに $$2(a^2+b^2)-(a+b)^2=(a-b)^2\ge0$$ なので $a^2+b^2\ge s^2/2\ge729/2$。左辺は整数だから少なくとも365。

$(a,b)=(13,14)$ はどちらも3の倍数でなく、 $$13^3+14^3=2197+2744=4941=61\cdot81, \qquad 13^2+14^2=365.$$ 従って最小値は365であり、交換した(14,13)も同じ値を達成する。

立方和を因数分解し、3の倍数条件から因子の3進 divisibility を評価してa+b≧27を得る。平方差の恒等式で二乗和の下界を出し、13,14で等号を達成する。