1京都大学 2014年 数学 第1問解答・解説

$l$ 上の点 $P$ を $P=A+t\mathbf u=(1+2t,t,-2-t)$ と表す。

直線上の点 $B+s\mathbf v$ までの距離は、任意のベクトル $r$ に対して $$\displaystyle |r-s\mathbf v|^2=|r|^2-\frac{(r\cdot\mathbf v)^2}{|\mathbf v|^2} +|\mathbf v|^2\left(s-\frac{r\cdot\mathbf v}{|\mathbf v|^2}\right)^2$$ と平方完成できる。従って直線への距離の二乗は、最初の2項の和である。

$m$ について $r=P-B=(2t,t-2,1-t)$、$\mathbf v=(1,-1,1)$ であり、 $$|r|^2=6t^2-6t+5,\qquad r\cdot\mathbf v=3,\qquad |\mathbf v|^2=3.$$ したがって $$\displaystyle PQ^2=6t^2-6t+5-\frac{3^2}{3}=6t^2-6t+2.$$

同様に $n$ について $r=P-C=(2t,t+1,-2-t)$、$\mathbf w=(1,2,1)$ だから $$|r|^2=6t^2+6t+5,\qquad r\cdot\mathbf w=3t,\qquad |\mathbf w|^2=6,$$ $$\displaystyle PR^2=6t^2+6t+5-\frac{(3t)^2}{6}=\frac92t^2+6t+5.$$ よって $$\displaystyle PQ^2+PR^2=\frac{21}{2}t^2+7\ge7,$$ 等号は $t=0$ のときに限る。このとき $P=A=(1,0,-2)$ であり、最小値は $7$。