3名古屋大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $\boldsymbol b=\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)$、$\boldsymbol c=\overrightarrow{AC}=(1,-1,-2)$より $$\boldsymbol b^2=3,\quad\boldsymbol c^2=6,\quad\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c=2.$$ (2) $\overrightarrow{AQ}=u\boldsymbol b+v\boldsymbol c$とおく。$\overrightarrow{OA}\cdot\boldsymbol b=1$、$\overrightarrow{OA}\cdot\boldsymbol c=-4$より垂直条件は $$1+3u+2v=0,\quad-4+2u+6v=0.$$ 従って$u=-1,v=1$、$\overrightarrow{AQ}=-\boldsymbol b+\boldsymbol c$、$Q=(3,-1,2)$。 (3) $P=A+s\boldsymbol b+t\boldsymbol c$とする。$\lambda=1/(1+s)$ とおくと $0<\lambda\le1$ であり、$R=(1-\lambda)Q+\lambda P$は線分$QP$上にあり、 $$\displaystyle \overrightarrow{AR}=\{-(1-\lambda)+\lambda s\}\boldsymbol b+\{1-\lambda+\lambda t\}\boldsymbol c =\frac{s+t}{1+s}\boldsymbol c.$$ 係数は非負なので条件を満たす。 (4) $OQ\perp H$より$OP^2=OQ^2+QP^2$。(3)の$R=A+r\boldsymbol c$に対し$QP\ge QR$であり、 $$QR^2=|\boldsymbol b+(r-1)\boldsymbol c|^2=3+4(r-1)+6(r-1)^2=6(r-2/3)^2+7/3.$$ 従って$OP^2\ge14+7/3=49/3$。$P=A+(2/3)\boldsymbol c$で等号が成立するので、$S=(11/3,1/3,5/3)$。