2名古屋大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$\alpha=(1-i)/\sqrt2$ とすると $\alpha^4=-1$。係数を比べると $$P(\alpha z)=\alpha^3z^3-3\alpha^2z^2+(c+2)\alpha z-c =-\alpha^7z^3+3\alpha^6z^2+(c+2)\alpha z-c=Q(z).$$ (1) $$P(z)=z^3-3z^2+(c+2)z-c=(z-1)(z^2-2z+c).$$ 従って解は $z=1,\ 1+i\sqrt{c-1},\ 1-i\sqrt{c-1}$。複素数平面では $(1,0)$、$(1,\sqrt{c-1})$、$(1,-\sqrt{c-1})$ の3点である。 (2) $Q(z)=0$ は $\alpha z$ が(1)の3根のいずれかであることと同値なので、根は $\alpha^{-1},\alpha^{-1}(1\pm id)$、ただし $d=\sqrt{c-1}>0$。ここで $\alpha^{-1}=(1+i)/\sqrt2$ だから実部はそれぞれ $$\displaystyle \frac1{\sqrt2},\qquad \frac{1-d}{\sqrt2},\qquad \frac{1+d}{\sqrt2}.$$ 最大のものは $$\displaystyle \alpha^{-1}(1-id)=\frac{1+d+i(1-d)}{\sqrt2}.$$ (3) 共通解zはPの根であり、同時に $\alpha z$ もPの根である。$z=1$ では $\alpha z$ の実部が $1/\sqrt2\ne1$。$z=1-id$ では $\alpha z$ の実部が $(1-d)/\sqrt2<1$。従って $z=1+id$ の場合だけを調べればよい。 $$\displaystyle \alpha(1+id)=\frac{1+d+i(d-1)}{\sqrt2}$$ がPの根であるためには、その実部が1である必要があるから $d=\sqrt2-1$。このとき虚部は $-d$ で、実際に $1-id$ というPの根になる。よって $$c=1+d^2=4-2\sqrt2,\qquad \beta=1+i(\sqrt2-1).$$ (1) 複素数平面上の図示 ここで $d=\sqrt{c-1}>0$ とおく。縦方向の間隔は模式的に描いた。

まず $\alpha^4=-1$ を使うと $Q(z)=P(\alpha z)$ と分かり、$Q$ の根は $P$ の根を $\alpha$ 倍の逆変換で移したものです。$P$ は $z=1$ を根に持つので因数分解できます。(2) では3つの根の実部を比べます。(3) では $P$ の根 $z$ に対して $\alpha z$ も同じ3根のどれかでなければならず、各候補の実部を比べて可能な根を絞り、残った条件から $c$ を求めます。 (1)の根は複素数平面にも図示し、実部がすべて $1$ であることと、虚部が $0$ および $\pm\sqrt{c-1}$ であることを示します。