1岡山大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) 等比数列の和の因数分解に $a=x^3$ を代入すると $$\displaystyle x^{3m}-1=(x^3-1)(x^{3(m-1)}+x^{3(m-2)}+\cdots+x^3+1) =(x^3-1)\sum\limits _{j=0}^{m-1}x^{3j}.$$ 右辺の商は多項式なので、$x^{3m}-1$ は $x^3-1$ で割り切れる。

(2) $D=x^2+x+1$ とおくと $x^3-1=(x-1)D$ だから、$D$ で割った余りを考えると $x^3\equiv1$。$n=3q+r$（$r=0,1,2$）と分ければ $$x^n-1\equiv x^r-1\pmod D.$$ $r=0,1$ では余りはそれぞれ $0,x-1$。$r=2$ では $D=0$ より $x^2\equiv-x-1$ なので、$x^2-1\equiv-x-2$。よって $$\operatorname{rem}_{D}(x^n-1)=\begin{cases}0,&n\equiv0\pmod3,\\x-1,&n\equiv1\pmod3,\\-x-2,&n\equiv2\pmod3.\end{cases}$$

(3) $E=x^2-x+1$ とすると $x^3+1=(x+1)E$、したがって $x^3\equiv-1\pmod E$。また $2024=3\cdot674+2$、$x^2\equiv x-1\pmod E$ より $$x^{2024}-1\equiv(-1)^{674}x^2-1\equiv x^2-1\equiv x-2\pmod E.$$ $x-2$ は $E$ より次数が小さいので、求める余りである。

割る多項式の因数分解からべきの合同式を得て、指数を3で割った余りで場合分けした。各候補の次数が除数より小さいことを確認して余りを確定する。