2岡山大学 2024年 数学 第2問解答・解説

10回の表裏の列は $2^{10}=1024$ 通りで、いずれも同様に確からしい。

(1) $x_{10}=0$ となるには表と裏が5回ずつ必要なので $$\displaystyle \boxed{\frac{\binom{10}{5}}{1024}=\frac{63}{256}}.$$

(2) $x_{10}=0$ となる252列のうち、$x_5=1$ となる列は前半に表3回・裏2回、後半に表2回・裏3回だから $\displaystyle \binom53\binom52=100$ 通り。従って $$\displaystyle \boxed{\frac{252-100}{1024}=\frac{19}{128}}.$$

(3) 途中の座標が常に0以上3以下で、$k$ 回後に $j$ にいる列数を $a_{k,j}$ とする。初期値は $$(a_{0,0},a_{0,1},a_{0,2},a_{0,3})=(1,0,0,0).$$ 直前の座標で分類すると $$\begin{aligned}a_{k+1,0}&=a_{k,1},\\a_{k+1,1}&=a_{k,0}+a_{k,2},\\a_{k+1,2}&=a_{k,1}+a_{k,3},\\a_{k+1,3}&=a_{k,2}.\end{aligned}$$ 偶数回後だけを書き出すと $$\begin{array}{c|rrrr}k& a_{k,0}&a_{k,1}&a_{k,2}&a_{k,3}\\\hline0&1&0&0&0\\2&1&0&1&0\\4&2&0&3&0\\6&5&0&8&0\\8&13&0&21&0\\10&34&0&55&0\end{array}$$ よって最後に0へ戻る列は34通りで、求める確率は $\boxed{34/1024=17/512}$。

10回の表裏の列は $2^{10}=1024$ 通りで、いずれも同様に確からしい。

(1) $x_{10}=0$ となるには表と裏が5回ずつ必要なので $$\displaystyle \boxed{\frac{\binom{10}{5}}{1024}=\frac{63}{256}}.$$

(2) $x_{10}=0$ となる252列のうち、$x_5=1$ となる列は前半に表3回・裏2回、後半に表2回・裏3回だから $\displaystyle \binom53\binom52=100$ 通り。従って $$\displaystyle \boxed{\frac{252-100}{1024}=\frac{19}{128}}.$$

(3) 途中の座標が常に0以上3以下で、$k$ 回後に $j$ にいる列数を $a_{k,j}$ とする。初期値は $(a_{0,0},a_{0,1},a_{0,2},a_{0,3})=(1,0,0,0)$。直前の座標で分類すると $$\begin{aligned}a_{k+1,0}&=a_{k,1},&a_{k+1,1}&=a_{k,0}+a_{k,2},\\a_{k+1,2}&=a_{k,1}+a_{k,3},&a_{k+1,3}&=a_{k,2}.\end{aligned}$$ 偶数回後だけを書き出すと $$\begin{array}{c|rrrr}k& a_{k,0}&a_{k,1}&a_{k,2}&a_{k,3}\\\hline0&1&0&0&0\\2&1&0&1&0\\4&2&0&3&0\\6&5&0&8&0\\8&13&0&21&0\\10&34&0&55&0\end{array}$$ よって最後に0へ戻る列は34通りで、求める確率は $\boxed{34/1024=17/512}$。