佐賀大学 2022年数学第2問解答・解説

場合の数と確率数列

このページには広告が含まれます。

1問題

佐賀大学2022年度第2問

$n$ を5以上の整数とする。1枚の硬貨を投げる試行を $n$ 回繰り返すとき，表が出る回数が，ちょうど $n$ 回目の試行で5になる確率を $p_{n}$ とする。次の問に答えよ。

(1) $p_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(2) $p_{n}$ の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$C(n−1,4)/2^n$
(2)
最大 $\displaystyle \frac{35}{256}$ 、 $n=8,9$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 「ちょうどn回目に表が5回になる」には、最初の $n-1$ 回で表が4回出て、最後の第n回に表が出なければならない。表の出る最初の4回を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{n-1}{4}$ 通り、各試行列の確率は $2^{-n}$ だから $\displaystyle \boxed{p_n=\frac{\binom{n-1}{4}}{2^n}}\qquad(n\ge5).$ (2) 隣接項の比は $\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{n}{2(n-4)}.$ これは $5\le n<8$ で1より大、 $n=8$ で1、 $n>8$ で1より小。従って最大を取るのは $n=8,9$ のときであり、 $\displaystyle \boxed{p_8=p_9=\frac{35}{256}}.$

この問題で使う考え方

最後の試行を固定
二項係数
隣接項の比

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。