岡山大学 2012年数学第2問解答・解説

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1問題

岡山大学2012年度第2問

表の出る確率が $p$ 、裏の出る確率が $q$ である硬貨を用意する。ここで $p,q$ は正の定数で、 $p+q=1$ を満たすとする。座標平面における領域 $D$ を $D=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 2,\ 0\leq y\leq 2\}$ とし、 $D$ 上を動く点 $Q$ を考える。 $Q$ は点 $(0,0)$ から出発し、硬貨を投げて表が出れば $x$ 軸方向に $+1$ だけ進み、裏が出れば $y$ 軸方向に $+1$ だけ進む。なお、この規則で $D$ 上を進めないときには、その回はその点にとどまるものとする。このとき以下の問いに答えよ。

(1) 硬貨を4回投げて $Q$ が点 $(2,2)$ に到達する確率 $P_4$ を求めよ。

(2) 硬貨を5回投げて5回目に初めて $Q$ が点 $(2,2)$ に到達する確率 $P_5$ を求めよ。

(3) $\displaystyle P_5=\dfrac{1}{9}$ のとき、 $p$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$P4=6p^2q^2$
(2)
$P5=4p^2q^2$
(3)
$\displaystyle p=\frac{3\pm\sqrt3}{6}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 4回で $(2,2)$ に着くには表2回、裏2回が必要である。これより早く着くことはできず、表の位置の選び方は $\displaystyle \binom42=6$ 通りだから $\displaystyle P_4=\binom42p^2q^2=6p^2q^2.$

(2) 5回目に初めて着くには、最初の4回の後で $(2,1)$ にいて次に裏が出るか、 $(1,2)$ にいて次に表が出る必要がある。前者の確率は $\displaystyle \binom41p^3q\cdot q=4p^3q^2$ 、後者は $\displaystyle \binom41pq^3\cdot p=4p^2q^3$ 。従って $P_5=4p^3q^2+4p^2q^3=4p^2q^2(p+q)=4p^2q^2.$

(3) $P_5=1/9$ と $p+q=1$ より $pq=1/6$ 。従って $p$ は $p(1-p)=1/6$ を満たし、 $\displaystyle p=\frac{1\pm\sqrt{1-2/3}}{2}=\frac{3\pm\sqrt3}{6}.$

この問題で使う考え方

到達時刻での状態分類
二項係数
確率の加法・乗法

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