2熊本大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) 1回の移動は座標の一方を1だけ変える。原点から$(2,-3)$までの移動に必要な回数は、$x$方向に正へ2回、$y$方向に負へ3回の合計5回である。さいころを投げる回数もちょうど5回なので、これ以外の方向への移動を含むことはできない。$x$方向に正へ進む目は1,2の2通り、$y$方向に負へ進む目は6の1通りである。$x$方向の2回を選ぶ方法は$\displaystyle \binom{5}{2}$通りだから、求める確率は$$\displaystyle \frac{\binom{5}{2}\cdot 2^2}{6^5}=\frac{40}{7776}=\frac{5}{972}.$$

(2) 点Pが最後まで$x$軸上のみを動くには、各回で1,2,3のいずれかが出なければならない。このうち$x$座標を1増やす目は1,2、1減らす目は3である。最後に原点にいるには、増加回数と減少回数が等しくなければならないので、$n$が奇数なら確率は0である。$n=2m$とすると、増加する$m$回の位置の選び方は$\displaystyle \binom{2m}{m}$通りであり、その各位置の目は2通り、残りの位置の目は各1通りである。したがって確率は$$\displaystyle \frac{\binom{2m}{m}2^m}{6^{2m}}=\frac{\binom{2m}{m}}{18^m}.$$

(3) 1回のさいころで生じる$x$座標の増分は、1,2の目で$+1$、3の目で$-1$、4,5,6の目で$0$である。よって1回の増分の期待値は$$\displaystyle 1\cdot\frac{2}{6}+(-1)\cdot\frac{1}{6}+0\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{6}.$$2回後の$x$座標はこの2回の増分の和なので、その期待値は$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$である。

なお、2回分の増分を直接まとめると、$x=2,1,0,-1,-2$となる確率は順に$\displaystyle \frac{1}{9},\frac{1}{3},\frac{13}{36},\frac{1}{6},\frac{1}{36}$であり、これからも期待値は$\displaystyle \frac{1}{3}$と確かめられる。

(1) 1回の移動は座標の一方を1だけ変える。原点から$(2,-3)$までの移動に必要な回数は、$x$方向に正へ2回、$y$方向に負へ3回の合計5回である。さいころを投げる回数もちょうど5回なので、これ以外の方向への移動を含むことはできない。$x$方向に正へ進む目は1,2の2通り、$y$方向に負へ進む目は6の1通りである。$x$方向の2回を選ぶ方法は$\displaystyle \binom{5}{2}$通りだから、求める確率は$$\displaystyle \frac{\binom{5}{2}\cdot 2^2}{6^5}=\frac{40}{7776}=\frac{5}{972}.$$

(2) 点Pが最後まで$x$軸上のみを動くには、各回で1,2,3のいずれかが出なければならない。このうち$x$座標を1増やす目は1,2、1減らす目は3である。最後に原点にいるには、増加回数と減少回数が等しくなければならないので、$n$が奇数なら確率は0である。$n=2m$とすると、増加する$m$回の位置の選び方は$\displaystyle \binom{2m}{m}$通りであり、その各位置の目は2通り、残りの位置の目は各1通りである。したがって確率は$$\displaystyle \frac{\binom{2m}{m}2^m}{6^{2m}}=\frac{\binom{2m}{m}}{18^m}.$$

(3) 1回のさいころで生じる$x$座標の増分は、1,2の目で$+1$、3の目で$-1$、4,5,6の目で$0$である。よって1回の増分の期待値は$$\displaystyle 1\cdot\frac{2}{6}+(-1)\cdot\frac{1}{6}+0\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{6}.$$2回後の$x$座標はこの2回の増分の和なので、その期待値は$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$である。

なお、2回分の増分を直接まとめると、$x=2,1,0,-1,-2$となる確率は順に$\displaystyle \frac{1}{9},\frac{1}{3},\frac{13}{36},\frac{1}{6},\frac{1}{36}$であり、これからも期待値は$\displaystyle \frac{1}{3}$と確かめられる。