4熊本大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\dfrac{(\log x)^2}{x}\ (x>0)$ とおく。 $$\displaystyle f'(x)=\frac{\log x(2-\log x)}{x^2}.$$ したがって、$0<x<1$ では $f'(x)<0$、$1<x<e^2$ では $f'(x)>0$、$x>e^2$ では $f'(x)<0$。また $f(1)=0$、$f(e^2)=4/e^2$、問題文の極限より $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f(x)=0$。さらに $x\to0+$ のとき $t=-\log x$ とおけば $t\to\infty$ で、$f(x)=t^2e^t\to\infty$。

よって $0<x<1$ では $f(x)$ は $\infty$ から0へ減少し、$1<x<e^2$ では0から $4/e^2$ へ増加し、$x>e^2$ では $4/e^2$ から0へ減少する。各区間で連続だから、$f(x)=a$ の解の個数は $$\displaystyle a<0:0,\quad a=0:1,\quad 0<a<\frac4{e^2}:3,\quad a=\frac4{e^2}:2,\quad a>\frac4{e^2}:1.$$

(2) 解がちょうど2個となるのは $a=4/e^2$ のときで、このとき大きい方の解は $x=e^2$。したがって $q^2=e^2$ かつ $q>0$ より $q=e$。小さい方の解 $p^2$ は $0<p<1$ で、方程式に代入すると $$\displaystyle 4(\log p)^2=\frac{4p^2}{e^2}.$$ $\log p<0$ に注意して平方根をとると $\log p=-p/e$、すなわち $g(p)=\log p+p/e=0$。 $$\displaystyle g'(p)=\frac1p+\frac1e>0\quad(p>0),\qquad g(1)=\frac1e>0.$$ 一方、$u>0$ に対し $H(u)=\log(1+u)-u/(1+u)$ とおくと $H(0)=0$、$H'(u)=u/(1+u)^2>0$ だから $\log(1+u)>u/(1+u)$。これに $u=1/e$ を代入すると $$\displaystyle g\!\left(\frac{e}{e+1}\right)=1-\log(e+1)+\frac1{e+1}=-\log\!\left(1+\frac1e\right)+\frac1{e+1}<0.$$ $g$ は増加関数なので、$g(p)=0$ となる $p$ は $$\displaystyle \frac{e}{e+1}<p<1.$$