3熊本大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおく。点 $(0,1)$ の像が $(1,1)$ なので $b=d=1$。点 $(1,2)$ の像について $$(a+2b,\ c+2d)=(2,1)$$ であるから、$a=0,\ c=-1$。したがって $$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}.$$

(2) $P(t,e^t)$ の像は $$A\begin{pmatrix}t\\e^t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^t\\e^t-t\end{pmatrix}.$$ $x=e^t$ とおくと、$t$ は実数なので $x>0$ であり、$t=\log x$ である。よって軌跡は $$C:\quad y=x-\log x\quad (x>0)$$ である。

(3) $\displaystyle S=e+\dfrac1e$ とおく。共通の定義域は $0<x<S$ である。交点では $$x-\log x=x+\log(S-x) \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \log\{x(S-x)\}=0 \quad\text{、すなわち}\quad x(S-x)=1.$$ したがって $$\displaystyle (x-e)\left(x-\frac1e\right)=0,$$ 交点の $x$ 座標は $1/e,e$ である。また $$\displaystyle y_D-y_C=\log\{x(S-x)\},\qquad x(S-x)-1=-(x-e)\left(x-\frac1e\right)>0 \quad\left(\frac1e<x<e\right),$$ より、この区間では $D$ が $C$ より上にある。よって面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1/e}^{e}\log\{x(S-x)\}\,dx &=\int_{1/e}^{e}\{\log x+\log(S-x)\}\,dx\\ &=2\int_{1/e}^{e}\log x\,dx\\ &=2\left[x\log x-x\right]_{1/e}^{e}=\frac4e. \end{aligned}$$ 第2項の積分は $u=S-x$ と置換すると第1項と等しい。原始関数は $(x\log x-x)'=\log x$ である。

(1) 行列の各成分を置いて指定された2点の像を代入すると、$b=d=1$、$a=0$、$c=-1$となる。(2) 像の座標は $(e^t,e^t-t)$である。$x=e^t$は正の全実数を動き、$t=\log x$だから $C$は $y=x-\log x\ (x>0)$。(3) $S=e+1/e$とおくと曲線差は $\log\{x(S-x)\}$である。交点方程式 $x(S-x)=1$の解は $1/e,e$。$1/e<x<e$の範囲では $x(S-x)-1=-(x-e)(x-1/e)>0$なので $D$が上側となる。積分を $\log x+\log(S-x)$に分け、後項に $u=S-x$を代入すると $\displaystyle 2\int_{1/e}^{e}\log x\,dx=4/e$。