熊本大学 2007年数学第1問解答・解説

二次関数図形と方程式三角関数

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1問題

熊本大学2007年度第1問

$a$ を定数とする。2つの放物線 $C_1:y=-x^2,\qquad C_2:y=3(x-1)^2+a$ について，以下の問いに答えよ。

(1) $C_1, C_2$ の両方に接する直線が2本存在するための $a$ の条件を求めよ。

(2) $C_1, C_2$ の両方に接する2本の直線が，直交するときの $a$ の値を求めよ。

(3) $C_1, C_2$ の両方に接する2本の直線が， $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}$ の角度で交わるときの $a$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad a>-3/4\quad$ . (2) $\quad a=1/3\quad$ . (3) $\quad a=1\pm\sqrt{17}/3\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

共通接線を $y=mx+b$ とする。 $y=-x^2$ への接線条件は $-x^2=mx+b$ が重解をもつこと、従って $b=m^2/4$ 。第2放物線では $3(x-1)^2+a=mx+b$ が重解をもつので $b=a-m-m^2/12$ 。切片を等しくすると $m^2+3m-3a=0.$ 2本の接線が存在する条件は異なる2つの実傾きがあること、すなわち判別式 $9+12a>0$ 、つまり $a>-3/4$ 。

傾きを $m_1,m_2$ とすれば $m_1m_2=-3a$ 。直交条件から $-3a=-1$ 、ゆえに $a=1/3$ 。またなす角が $\pi/4$ のとき $\displaystyle \frac{|m_1-m_2|}{|1+m_1m_2|}=1.$ 解と係数の関係で $(m_1-m_2)^2=9+12a$ 、 $1+m_1m_2=1-3a$ なので $9+12a=(1-3a)^2$ 。これを解いて $a=1\pm\sqrt{17}/3$ 。両値とも $a>-3/4$ かつ $1-3a\ne0$ を満たし、元の角条件に適合する。

この問題で使う考え方

判別式
解と係数の関係
直線の傾きと角度

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