3千葉大学 2024年 数学 第3問解答・解説

$f(x)=x^2-ax+a^2-2$ とおく。

(1) 二つの異なる正の交点をもつには、$f(x)=0$ が異なる二実根をもち、両根が正であればよい。判別式は $$\Delta=a^2-4(a^2-2)=8-3a^2.$$ 根の和は $a$、積は $a^2-2$ である。よって必要十分条件は $$\Delta>0,\quad a>0,\quad a^2-2>0,$$ すなわち $$\displaystyle \sqrt2<a<\sqrt{\frac83}.$$

(2) この範囲の二根を $0<\alpha<\beta$ とする。$x<0$ では $kx<0\le |f(x)|$、また $x=0$ では $|f(0)|=a^2-2>0$ なので交点はない。$0<x<\alpha$ または $x>\beta$ の範囲では交点条件は $h(x)=f(x)-kx=0$ である。$h(0)>0,\ h(\alpha)=-k\alpha<0,\ h(\beta)=-k\beta<0$、かつ $h(x)\to\infty$ なので、この二区間にそれぞれ少なくとも一根がある。$h$ は二次式だから外側の交点はちょうど二つ。

$\alpha<x<\beta$ の範囲では交点条件は $$q(x)=f(x)+kx=x^2+(k-a)x+a^2-2=0.$$ 端点で $q(\alpha)=k\alpha>0,\ q(\beta)=k\beta>0$。上に開く二次関数 $q$ がこの区間内にちょうど一つの異なる解をもつのは、区間内で重解となる場合に限る。判別式を零とすると $$(k-a)^2-4(a^2-2)=0,\qquad k=a\pm2\sqrt{a^2-2}.$$ 重解は $x_0=(a-k)/2$ である。プラス符号の $k=a+2\sqrt{a^2-2}$ では $x_0<0$ なので不適。もう一方では $$k=a-2\sqrt{a^2-2}>0$$ （$3a^2<8$ より）で、$x_0=\sqrt{a^2-2}>0$。さらに $q(x_0)=0$ から $f(x_0)=-kx_0<0$ となり、$\alpha<x_0<\beta$。よって内側の重解一つと外側の二交点を合わせてちょうど三点となる。 $$\boxed{k=a-2\sqrt{a^2-2}}.$$

二次式の判別式と根の和積で二つの正の根をもつ条件を出す。絶対値を根の外側・内側で分けると、外側には必ず二交点がある。内側にちょうど一つの異なる交点を加える条件は、内側の上向き二次式が区間内で重解をもつことである。