6千葉大学 2024年 数学 第6問解答・解説

(1) $f'(x)=e^x-2e^{-2x}=e^{-2x}(e^{3x}-2)$。$e^{-2x}>0$ なので符号は $e^{3x}-2$ で決まり、$\displaystyle x=\frac{\log2}{3}$ まで減少し、その後増加する。よって最小値は $$\displaystyle 2^{1/3}+2^{-2/3}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}.$$ (2) $t=e^x>0$ と置くと $$e^x+e^{-2x}=2\quad\text{すなわち}\quad t+t^{-2}=2\quad\text{すなわち}\quad (t-1)(t^2-t-1)=0.$$ 正の根は $t=1$ と $\displaystyle t=\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ なので $x=0,\log\phi$。 (3) $f(x)>0$ だから、二つの交点の間で回転した体積は円板法で $$\displaystyle V=\pi\int_0^{\log\phi}(e^x+e^{-2x})^2dx =\pi\left[\frac12e^{2x}-2e^{-x}-\frac14e^{-4x}\right]_0^{\log\phi}.$$ $\phi^2=(3+\sqrt5)/2,\ \phi^{-1}=(\sqrt5-1)/2,\ \phi^{-4}=(7-3\sqrt5)/2$ を代入して整理すると $$\displaystyle V=\frac{3\pi(7-\sqrt5)}8.$$