4新潟大学 2007年 数学 第4問解答・解説

$a>0$ とする。$x>0$ で $$\displaystyle f'(x)=\frac{a e^{-ax/2}}{2\sqrt{x}}(1-ax).$$ 係数部分は正であるため増減は $1-ax$ の符号で決まる。$0<a\le1$ なら$0\le x\le1$ の範囲で増加し、最小値は $f(0)=0$、最大値は $f(1)=ae^{-a/2}$。$a>1$ なら $x=1/a$ で最大となり $f(1/a)=\sqrt{a/e}$、$\text{最小値はやはり}0$。

(2) $f(x)\ge0$ だから、回転体の体積は円板法で $$\displaystyle V(a)=\pi\int_0^1f(x)^2dx=\pi a^2\int_0^1xe^{-ax}dx.$$ 部分積分より $\displaystyle \int_0^1xe^{-ax}dx=[1-(a+1)e^{-a}]/a^2$。従って $$V(a)=\pi\{1-(a+1)e^{-a}\}.$$ (3) 微分して $V'(a)=\pi a e^{-a}>0\ (a>0)$。ゆえに $0<a_1<a_2$ ならば $V(a_1)<V(a_2)$。

$f(x)=a\sqrt{x}e^{-ax/2}$。最大値は$0<a\leq1$で$ae^{-a/2}$、$a>1$で$\displaystyle \sqrt{\frac ae}$、最小値0。回転体の体積$V(a)=\pi\{1-(a+1)e^{-a}\}$、$V^{\prime}=\pi ae^{-a}>0$。