1新潟大学 2007年 数学 第1問解答・解説

Aを原点とする位置ベクトルを考えると $$\overrightarrow{AB}=\vec b,\quad \overrightarrow{AD}=\vec d,\quad \overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d.$$ また，EはBDの中点だから $\displaystyle \overrightarrow{AE}=\frac12(\vec b+\vec d)$。Fは $AF:FD=3:2$ に内分する点なので $\displaystyle \overrightarrow{AF}=\frac35\vec d$ である。

(1) 三角形BCDの重心Gについて，重心の位置ベクトルは頂点の位置ベクトルの平均であるから $$\displaystyle \overrightarrow{AG} =\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3} =\frac{\vec b+(\vec b+\vec d)+\vec d}{3} =\frac23(\vec b+\vec d).$$

(2) $S$ はAE上にあるので $\overrightarrow{AS}=t(\vec b+\vec d)$ とおく。SがBF上にもあることから，ある実数 $u$ によって $$\displaystyle \overrightarrow{AS} =\overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{BF} =(1-u)\vec b+\frac{3u}{5}\vec d.$$ $\vec b,\vec d$ は平行でないので係数を比較でき， $$\displaystyle t=1-u,\qquad t=\frac{3u}{5}.$$ これを解いて $\displaystyle t=\frac38$（$\displaystyle u=\frac58$）を得る。よって $$\displaystyle \overrightarrow{AS}=\frac38(\vec b+\vec d).$$

(3) $\overrightarrow{SG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AS}$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{SG} =\left(\frac23-\frac38\right)(\vec b+\vec d) =\frac7{24}\overrightarrow{AC}.$$ したがって $$\displaystyle SG=\frac7{24}AC=\frac7{24}\cdot36=\frac{21}{2}.$$

平行四辺形と重心の位置ベクトルを求め、交点を直線の媒介表示の係数比較で決定する。