4長崎大学 2019年 数学 第4問解答・解説

重心の位置ベクトルは $\overrightarrow{OG}=(\vec a+\vec b)/3$。$CG:GD=t:(1-t)$ なので $G$ は $CD$ を内分し、 $$\overrightarrow{OG}=(1-t)\overrightarrow{OC}+t\overrightarrow{OD} =(1-t)x\vec a+ty\vec b.$$ $\vec a,\vec b$ の係数を比べると $$\displaystyle x=\frac1{3(1-t)},\qquad y=\frac1{3t}.$$ $0<x,y<1$ より $\displaystyle \frac13<t<\frac23$。

(2) 上の式から $1/x+1/y=3$ となるので $$\displaystyle y=\frac{x}{3x-1}.$$ $y>0$ は $x>1/3$、$y<1$ は $x>1/2$ を与える。もともとの条件 $x<1$ と合わせて $$\displaystyle \frac12<x<1.$$

(3) 面積は二つの三角形で共通の因子 $|\vec a\times\vec b|/2$ をもつから $$\displaystyle f(x)=\frac{S_1}{S_2}=xy=\frac{x^2}{3x-1}.$$ 微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{x(3x-2)}{(3x-1)^2}.$$ 定義域 $\displaystyle \frac12<x<1$ では分母と $x$ は正なので、$f'(x)<0$（$\displaystyle \frac12<x<\frac23$）、$\displaystyle f'(\frac23)=0$、$f'(x)>0$（$\displaystyle \frac23<x<1$）。端点極限は $$\displaystyle \lim\limits _{x\to1/2+}f(x)=\frac12,\qquad \lim\limits _{x\to1-}f(x)=\frac12.$$ 増減表は $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} x & \frac12+ & & \frac23 & & 1-\\ \hline f'(x) & & - & 0 & + &\\ f(x) & \frac12 & \searrow & \frac49 & \nearrow & \frac12 \end{array}$$ である。従って最小値は $\displaystyle f(\frac23)=\frac49$ で、そのとき $$\displaystyle x=\frac23,\qquad y=\frac{\frac23}{3\cdot\frac23-1}=\frac23.$$

$G$ の位置ベクトルを $C,D$ による内分表示と等置すると $x=1/[3(1-t)]$、$y=1/(3t)$。媒介変数を消去して $y=x/(3x-1)$、点の範囲から $1/2<x<1$ を得る。面積比は $xy=x^2/(3x-1)$ で、導関数の符号は $x=2/3$ で負から正へ変わる。両端の極限はともに $1/2$、内部の最小値は $4/9$ であり、そのとき $x=y=2/3$。