8長崎大学 2019年 数学 第8問解答・解説

1の3乗根は $\displaystyle z_1=1,\quad z_2=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\quad z_3=\frac{-1-i\sqrt3}{2}$。よって和と二次対称和は $0$、積は $1$。各 $|z_k|=1$ なので、距離平方の和を展開すると $3|\alpha|^2+3$ となる。また $\displaystyle \prod\limits _{k=1}^{3}(\alpha-z_k)=\alpha^3-1$ だから距離の積は $|\alpha^3-1|$。 (3)の条件から $\displaystyle \alpha=\frac{irz_3-z_2}{ir-1}$。代入して整理すると $\displaystyle |\alpha|^2=\frac{r^2+\sqrt3r+1}{r^2+1}=1+\frac{\sqrt3r}{r^2+1}$。$r>0$ では $r^2+1\ge2r$ なので最大は $r=1$ のときで、$\displaystyle |\alpha|^2=1+\frac{\sqrt3}{2}$。さらに $\displaystyle \alpha=\frac{iz_3-z_2}{i-1}=-\frac{1+\sqrt3}{2}$。したがって距離平方和の最大値は $\displaystyle 3|\alpha|^2+3=6+\frac{3\sqrt3}{2}$。 (4)で $\displaystyle t=\frac{1+\sqrt3}{2}$ とおけば $\alpha=-t$ なので、積は $\displaystyle |\alpha^3-1|=t^3+1=\frac{3(3+\sqrt3)}4$。