7長崎大学 2019年 数学 第7問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \ell:\quad y&=\frac{a_n}{t}-\frac{a_n}{t^2}(x-t)=-\frac{a_n}{t^2}x+\frac{2a_n}{t}.\\ f_n(t)=g_n(t)&\text{ より }a_n=t^2(1-t)^{2n}.\\ f_n'(t)=g_n'(t)&\text{ より }-(1-t)^{2n}=(1-t)^{2n-1}\{1-(2n+1)t\},\\ &\text{したがって }t=\frac1{n+1},\quad a_n=t^2(1-t)^{2n}=\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}}.\\ S_n&=\int_0^1x(1-x)^{2n}\,dx=\frac1{(2n+1)(2n+2)}.\\ r&=\left(\frac n{n+1}\right)^{2n},\quad T_n=\frac12(2t)(2tr)=2t^2r.\\ \frac{S_n}{T_n}&=\left(1+\frac1n\right)^{2n}\frac{n+1}{4(2n+1)} \longrightarrow\frac{e^2}{8}. \end{aligned}$$ 問1は $\displaystyle f_n(t)=\frac{a_n}{t}$、$\displaystyle f_n'(t)=-\frac{a_n}{t^2}$ より、接線 $\displaystyle \ell:y=-\frac{a_n}{t^2}x+\frac{2a_n}{t}$。 問2で値が等しい条件は $a_n=t^2(1-t)^{2n}$。傾き条件は $\displaystyle -\frac{a_n}{t^2}=(1-t)^{2n-1}\{1-(2n+1)t\}$。値条件を代入し、$0<t<1$ より $(1-t)^{2n-1}>0$ なので整理すると $\displaystyle t=\frac1{n+1}$。したがって $\displaystyle a_n=t^2(1-t)^{2n}=\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}}$。 問3で $0\leq x\leq1$ のグラフと $x$ 軸に囲まれる部分の面積は $\displaystyle S_n=\int_0^1x(1-x)^{2n}\,dx=\frac1{(2n+1)(2n+2)}$。 問4で $\displaystyle r=(\frac n{n+1})^{2n}$、$\displaystyle t=\frac1{n+1}$ とおくと共通接線は傾き $-r$、$y$ 切片 $2tr$、$x$ 切片 $2t$。よって $\displaystyle T_n=\frac12(2t)(2tr)=2t^2r$。したがって $\displaystyle \frac{S_n}{T_n}=(\frac{n+1}{n})^{2n}\cdot\frac{n+1}{4(2n+1)}$ であり、極限は $\displaystyle \frac{e^2}{8}$。