3長崎大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $F(x)=x^3-3px+p$とする。$p\le0$では単調増加で実根は1つ。$p>0$では極大点$-\sqrt p$，極小点$\sqrt p$をもち，異なる3実根をもつ条件は$F(-\sqrt p)>0>F(\sqrt p)$。前者は$2p\sqrt p+p>0$で成立し，後者は$p-2p\sqrt p<0$，すなわち$p>1/4$である。 (2) 接線と法線は$$\displaystyle \ell:y=\frac{x-t}{t}+\log t,\qquad m:y=-t(x-t)+\log t.$$ 両者の$y$切片の差は$t^2+1$，三角形の高さは$t>0$だから$S=t(t^2+1)/2$。$S=5$より$t^3+t-10=(t-2)(t^2+2t+5)=0$。従って$P=(2,\log2)$。 (3) $\overrightarrow{AB}=(-3,3,3),\overrightarrow{AC}=(-2,1,3)$。垂直条件より $$0=(\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{AB}=18-27t$$ なので$t=2/3$。$CH^2=|AC|^2-(AC\cdot AB)^2/|AB|^2=14-12=2$，従って$CH=\sqrt2$。 (4) $P=(t,\sqrt{1-t^2/4}),0<t<2$。回転体は半径$\sqrt{1-t^2/4}$，高さ$t$の円柱なので$V=\pi t(1-t^2/4)$。$V'=\pi(1-3t^2/4)$は$t=2/\sqrt3$を境に正から負になる。最大値は$4\pi/(3\sqrt3)$，そのとき$P=(2/\sqrt3,\sqrt{2/3})$。