3宮崎大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $x>0$では$f(x)/x=1/\sqrt{1+6/x+10/x^2}\to1$。 (2) 有理化して$$\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2-x\sqrt{x^2+6x+10}}{\sqrt{x^2+6x+10}}=\frac{-6x^3-10x^2}{\sqrt{x^2+6x+10}\{x^2+x\sqrt{x^2+6x+10}\}}\to-3.$$ (3) 分母の中は$(x+3)^2+1>0$なので定義域は実数全体である。 $$\displaystyle f'(x)=\frac{x(x+4)(x+5)}{(x^2+6x+10)^{3/2}}.$$ 従って増減は $$\begin{array}{c|ccccccc}x&x<-5&-5&-5<x<-4&-4&-4<x<0&0&x>0\\\hline f'&-&0&+&0&-&0&+\\f&\searrow&5\sqrt5&\nearrow&8\sqrt2&\searrow&0&\nearrow\end{array}$$ 極小値は$x=-5$で$5\sqrt5$，$x=0$で0，極大値は$x=-4$で$8\sqrt2$。正の無限遠では(1),(2)から漸近線は$y=x-3$。負の無限遠では$u=-x\to\infty$として $$\displaystyle f(-u)-u=\frac{u^2-u\sqrt{u^2-6u+10}}{\sqrt{u^2-6u+10}}\to3$$ （(2)と同じ有理化）なので漸近線は$y=-x+3$。全実数で連続なので垂直漸近線はない。グラフは常に$y\ge0$，原点で$x$軸に接し，左方から減少して$(-5,5\sqrt5)$，増加して$(-4,8\sqrt2)$，減少して原点に達した後増加する。