2宮崎大学 2021年 数学 第2問解答・解説

$t=\sin x+\cos x$ とおけば $$t^2=1+\sin2x,\qquad \sin2x=t^2-1.$$ 従って $$f(x)=t^2+at+b-1.$$

$t$ は $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ を動く。方程式 $f(x)=0$ に解がある条件は、ある $t$ がこの範囲にあって $$b=1-t^2-at$$ となること。固定した $a$ について右辺 $\phi(t)=1-t^2-at$ は下に凸ではなく上に凸の二次関数（係数 $-1$ のため上に凸）である。最小値は端点のうち小さい方 $$\displaystyle \min\{\phi(-\sqrt2),\phi(\sqrt2)\}=-1-\sqrt2|a|$$ である。最大値は頂点 $t=-a/2$ が許容範囲内なら $1+a^2/4$、範囲外なら端点の大きい方 $-1+\sqrt2|a|$。頂点が範囲内となるのは $|a|\le2\sqrt2$。従って求める領域は $$\displaystyle -1-\sqrt2|a|\le b\le \begin{cases} 1+\dfrac{a^2}{4},& |a|\le2\sqrt2,\\[4pt] -1+\sqrt2|a|,& |a|\ge2\sqrt2. \end{cases}$$ 境界を含むこの領域を $ab$ 平面に描けばよい。

t=sinx+cosxとおくとsin2x=t²−1、tの動く範囲は−√2≦t≦√2です。条件をb=1−t²−atの値域に置き換え、端点での最小値と、許容区間に頂点が入るかどうかで最大値を場合分けします。その上下の境界にはさまれた領域が解の存在する範囲です。