6信州大学 2021年 数学 第6問解答・解説

$-\pi/2\le x\le\pi/2$ の範囲では $\sin x$ と $\sin2x$ は奇関数なので積分は0、$\cos x$ は偶関数で $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx=2.$$ 従って条件 $\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)\,dx=12$ は $2b=12$ を与え、$b=6$。

$x=\pi/4$ は区間の内点で極大となるから $f'(\pi/4)=0$。 $$\displaystyle f'(x)=a\cos x-b\sin x+2c\cos2x, \qquad f'(\pi/4)=\frac{a-b}{\sqrt2}=0,$$ より $a=b=6$。また、極大値の条件から $$\displaystyle f(\pi/4)=\frac{a+b}{\sqrt2}+c=6\sqrt2+c=6\sqrt2+\sqrt3,$$ なので $c=\sqrt3$。求めた値が確かに極大を与えることも確認する。 $$f''(x)=-a\sin x-b\cos x-4c\sin2x, \qquad f''(\pi/4)=-6\sqrt2-4\sqrt3<0.$$ 従って $$\boxed{a=6,\quad b=6,\quad c=\sqrt3}.$$

最小値を調べるため $$t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$$ と置く。$x+\pi/4$ は $-3\pi/4\le x+\pi/4\le5\pi/4$ の範囲を動き、その範囲に正弦が $-1$ と $1$ をとる角が含まれる。連続性から $t$ は $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ のすべての値を取り、$\sin2x=2\sin x\cos x=t^2-1$ だから $$f(x)=6t+\sqrt3(t^2-1) =\sqrt3(t+\sqrt3)^2-4\sqrt3.$$ この範囲で $t+\sqrt3\geq\sqrt3-\sqrt2>0$ なので、右辺は $t$ とともに増える。従って最小値は $t=-\sqrt2$ のときであり、 $$\displaystyle \min f(x)=\sqrt3(\sqrt3-\sqrt2)^2-4\sqrt3 =\boxed{\sqrt3-6\sqrt2}.$$ $x=-3\pi/4$ は指定区間に含まれ、$t=-\sqrt2$ を与えるので最小値は実際に達成される。