5信州大学 2021年 数学 第5問解答・解説

agraph{(1)} 二項展開して項別に積分する。 $$x^4(1-x)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8,$$ したがって $$\displaystyle \int_0^1x^4(1-x)^4\,dx =\frac15-\frac46+\frac67-\frac48+\frac19=\frac1{630}.$$

agraph{(2)} 分子を $1+x^2$ で割ると $$x^4(1-x)^4=(1+x^2)(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)-4.$$ よって多項式部分の積分は $$\displaystyle \int_0^1(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4)\,dx =\frac17-\frac23+1-\frac43+4=\frac{22}{7}.$$ 残りは $x=\tan\theta$（$0\leq\theta\leq\pi/4$）と置けば $dx=\sec^2\theta\,d\theta$、$1+x^2=\sec^2\theta$ なので $$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\pi/4}d\theta=\frac\pi4.$$ 以上より $$\displaystyle \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-4\cdot\frac\pi4=\frac{22}{7}-\pi.$$

agraph{(3)} $P(x)=x^4(1-x)^4$ とおく。$0<x<1$ では $P(x)>0$ かつ $1<1+x^2<2$ だから $$\displaystyle \frac12P(x)<\frac{P(x)}{1+x^2}<P(x).$$ これを $0\le x\le1$ の範囲で積分し、(1),(2)を用いると $$\displaystyle \frac1{1260}<\int_0^1\frac{P(x)}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi<\frac1{630},$$ となり、示された。