3群馬大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) $u=x+1$とおくと$x=u-1$, $dx=du$で、積分区間は$1$から$2$となる。$\displaystyle \int_0^1\frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx=\int_1^2(u^{1/2}-u^{-1/2})\,du=\left[\frac23u^{3/2}-2u^{1/2}\right]_1^2=\frac{4-2\sqrt2}{3}$.

(2) $u=2-x^2$とおくと$\displaystyle x\,dx=-\frac12\,du$, $x^2=2-u$で、積分区間は$2$から$1$となる。$\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{\sqrt{2-x^2}}\,dx=\frac12\int_1^2(2u^{-1/2}-u^{1/2})\,du=\left[2u^{1/2}-\frac13u^{3/2}\right]_1^2=\frac{4\sqrt2-5}{3}$.

(3) $x=\tan\theta$とおく。$x=0,1$に対応する$\theta$は$\displaystyle 0,\quad\frac\pi4$であり、$dx=\sec^2\theta\,d\theta$, $\sqrt{1+x^2}=\sec\theta$。よって$\displaystyle \int_0^1\frac{x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\,dx=\int_0^{\pi/4}(\sec\theta-\cos\theta)\,d\theta=\left[\ln(\sec\theta+\tan\theta)-\sin\theta\right]_0^{\pi/4}=\ln(1+\sqrt2)-\frac1{\sqrt2}$.