群馬大学 2025年数学第5問解答・解説

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1問題

群馬大学2025年度第5問

k は定数とする。 $\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$ が表す曲線 C と y = kx が表す直線 l が y > 0 の範囲でただ 1 つの共有点をもつとき，曲線 C，直線 l と x 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解説正の交点では $x>1$ 。直線と曲線の交点は $\phi(x)=\log x/x^2$ の水平線との交点である。 $\phi$ は $x=\sqrt e$ で唯一の最大値 $1/(2e)$ を取るため、正の共有点がただ1つという条件はこの高さで接することを意味する。

曲線は $x=1$ で $x$ 軸を横切る。囲まれた領域は、原点から接点までの直線下の三角形から、 $1$ から接点までの曲線下の部分を引いて求められる。直線下の面積は $1/4$ 、曲線下の面積は $1/8$ なので、差は $1/8$ 。

答え $k=1/(2e)$ 、共有点は $(\sqrt e,1/(2\sqrt e))$ 、囲まれた面積は $1/8$ 。

この問題で使う考え方

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