群馬大学 2025年数学第1問解答・解説

場合の数と確率数列二次関数

このページには広告が含まれます。

1問題

群馬大学2025年度第1問

n を自然数とする。整数の組 $(x, y)$ で表される座標平面上の点で，次の条件を満たすものの個数をそれぞれ求めよ。

(1) 3 点 $(0,0)$ , $(n,0)$ , $(0,2n)$ を頂点とする三角形の辺上または内部にある。

(2) 連立不等式 $\displaystyle \left\{\begin{aligned} y & \leq n^{2} \\ y & \geq \frac{x^{2}}{4}\end{aligned}\right.$ で表される領域に含まれ, かつ $x \geq 0$ を満たす。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

整数格子点をx座標ごとの縦列に分けて数える。(1)では直線境界から列の長さを等差数列として和を取り、(2)では放物線の下端を偶奇で分けてceilの総和を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $(n+1)^2.\qquad$ (2) $\displaystyle \frac{8n^3+3n^2+7n+6}{6}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) 整数 }x\text{ は }0\le x\le n\text{。各 }x\text{ に対し }0\le y\le2n-2x\text{ なので、} \sum\limits _{x=0}^{n}(2n-2x+1)=\sum\limits _{j=0}^{n}(2j+1)=(n+1)^2.\\ \text{(2) }x\ge0\text{ かつ }x^2/4\le y\le n^2\text{ だから }0\le x\le2n.\text{ 各整数 }x\text{ に対する点数は }n^2-\lceil x^2/4\rceil+1\text{ である。} \text{ここで }x=2k\ (0\le k\le n)\text{ なら }\lceil x^2/4\rceil=k^2\text{、}x=2k+1\ (0\le k\le n-1)\text{ なら }\lceil x^2/4\rceil=k^2+k+1.\text{ よって} \begin{aligned} \sum\limits _{x=0}^{2n}\left\lceil\frac{x^2}{4}\right\rceil &=\sum\limits _{k=0}^{n}k^2+\sum\limits _{k=0}^{n-1}(k^2+k+1)\\ &=\frac{4n^3+3n^2+5n}{6}. \end{aligned} \text{したがって点の個数は} \sum\limits _{x=0}^{2n}\left(n^2-\left\lceil\frac{x^2}{4}\right\rceil+1\right) =(2n+1)(n^2+1)-\frac{4n^3+3n^2+5n}{6} =\frac{8n^3+3n^2+7n+6}{6}.$

この問題で使う考え方

和の法則
総和記号と数列の和
二次不等式とグラフ

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。